A material point begins to move in a straight line with constant acceleration

Задача

По прямой начинается двигаться материальная точка с постоянным ускорением. Спустя времени T после начала движения ускорение меняет знак на противоположный, оставаясь неизменным по величине. Определить, через какое время t после начала движения точка вернётся в исходное положение. 

A material point begins to move in a straight line with constant acceleration. After time T after the start of movement, the acceleration changes sign to the opposite, remaining unchanged in magnitude. Determine after what time t after the start of movement the point will return to its original position.

Решение

Для решения этой задачи, мы сначала анализируем движение материальной точки. В первой фазе движения, до времени

$�$, точка движется с постоянным ускорением $�$. Затем, начиная с момента времени $�$, ускорение меняет знак на $-�$, но остаётся по величине таким же.

1. Движение до момента времени $�$:

Используем основные уравнения равноускоренного движения:

${�}_1={�}_0�+\frac{1}{2}�{�}^2$ $�={�}_0+��$

Так как начальная скорость ${�}_0=0$, уравнения упрощаются до:

${�}_1=\frac{1}{2}�{�}^2$ $�=��$

2. Движение после момента времени $�$:

После момента $�$, ускорение становится $-�$. Мы хотим найти время ${�}^{\mathrm{\prime }}$, за которое точка вернётся в исходное положение. В этот период, начальная скорость точки равна $��$, и уравнение движения:

${�}_2=��{�}^{\mathrm{\prime }}-\frac{1}{2}�{�}^{\mathrm{\prime }2}$

Точка вернётся в исходное положение, когда сумма пройденных путей ${�}_1$ и ${�}_2$ будет равна нулю:

${�}_1+{�}_2=0$

Подставим уравнения для ${�}_1$ и ${�}_2$ и найдём ${�}^{\mathrm{\prime }}$:

$\frac{1}{2}�{�}^2+��{�}^{\mathrm{\prime }}-\frac{1}{2}�{�}^{\mathrm{\prime }2}=0$

Решая это квадратное уравнение относительно ${�}^{\mathrm{\prime }}$, получим значение времени, за которое точка вернётся в исходное положение. Общее время $�$ будет равно $�+{�}^{\mathrm{\prime }}$.

Давайте решим это уравнение.

Уравнение имеет два решения: $-0.414�$ и $2.414�$. Отрицательное значение времени не имеет физического смысла в данном контексте, поэтому мы отбрасываем его. Оставшееся решение ${�}^{\mathrm{\prime }}=2.414�$ указывает, что время, за которое точка вернётся в исходное положение после момента времени $�$, в 2.414 раза больше, чем время $�$.

Таким образом, общее время $�$, за которое точка вернётся в исходное положение после начала движения, равно:

$�=�+{�}^{\mathrm{\prime }}=�+2.414�=3.414�$

Python:

from sympy import symbols, Eq, solve

# Определяем символы
t_prime = symbols('t_prime')
a, T = symbols('a T', positive=True)

# Уравнение движения после времени T
equation = Eq((1/2) * a * T**2 + a * T * t_prime - (1/2) * a * t_prime**2, 0)

# Решаем уравнение относительно t'
solution = solve(equation, t_prime)
solution